[2015년 대화고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

곡선 [eqn: y=2x ^{2} -3x+1] 위의 점 [eqn: (2,```3)]에서의 접선의 기울기는? [4.3점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -6x+1]에 대하여 구간 [eqn: [1,```5]]에서 롤의 정리를 만족하는 [eqn: c]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

점 [eqn: (-1,```-2)]를 지나는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (x,```f(x))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2x-3]일 때, [eqn: f(-2)]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{x} {f(t)dt=x ^{3} -3x ^{2} +2x}]를 만족할 때 상수 [eqn: a]의 값들의 합은? [4.3점]

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 0]

곡선 밖의 점 [eqn: (1,```-2)]에서 곡선 [eqn: y=x ^{2} +1]에 그은 접선의 방정식은[eqn: y=m_1 x+p], [eqn: y=m_2 x+q]이다. 이 때, [eqn: m _{1} TIMES m _{2}]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: -12]	② [eqn: -14]	③ [eqn: -16]

④ [eqn: -18]	⑤ [eqn: -20]

이차함수 [eqn: f(x)]와 그 부정적분 [eqn: F(x)] 사이에
[eqn: F(x)=xf(x)-2x ^{3} +x ^{2} +1]
인 관계가 성립할 때, [eqn: f(0)]의 값은? (단, [eqn: f(1)=4]) [4.4점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가
[eqn: t ^{3} +at ^{2} +bt+4]이고, [eqn: t=3]일 때 점 [eqn: rmP]는 운동방향을 바꾸며,
그 때의 위치는 [eqn: -5]이다. 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=3] 이외에 운동 방향을
바꾸는 시각은? [4.4점]

②

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{4} -4x ^{3} +a-2>0]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는? [4.4점]

⑤

① [eqn: -7<a<6]	② [eqn: a>12]	③ [eqn: 6<a<24]

④ [eqn: 12<a<24]	⑤ [eqn: a>29]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=-f(-x)]를 만족하는 다항함수
[eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int _{-a} ^{a} {f`'(x)(1-x ^{3} )dx}]의 값은? (단, [eqn: f(0)=0],
[eqn: f(a)=4]이다.) [4.5점]

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

극한 [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} LEFT ( 3+ {2k} over {n} RIGHT ) ^{2}}]을 정적분으로 나타낸 것 중 옳은 것만을 보기에서 모두 고른 것은? [4.5점]

④

ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} {(3+2x) ^{2} dx}]	ㄴ. [eqn: int _{0} ^{2} {(3+x) ^{2} dx}]

ㄷ. [eqn: {1} over {2} int _{3} ^{5} {`x ^{2} dx}]	ㄹ. [eqn: {1} over {3} int _{0} ^{3} {LEFT ( 3+ {2x} over {3} RIGHT ) ^{2} dx}]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

연속함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 [eqn: f(x)=f(-x)]를 만족하고, 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+6)]이고 [eqn: int _{0} ^{3} {f(x)dx=4}]일 때,
[eqn: int _{-12} ^{9} {f(x)dx}]의 값은? [4.5점]

④

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

밑면의 지름과 높이가 모두 [eqn: rm10cm]인 원뿔 뒤집어 놓은 모양의 종이컵이 있다. 물이 가득 채워진 종이컵의 아랫부분으로 물의 높이가 매초 [eqn: rm1cm]씩 낮아지도록 물을 빼내고 있다. [eqn: 2]초 후의 물의 표면의 넓이의 순간변화율은? (단, 물의 표면은 원이다.) [4.5점]

④

① [eqn: - pi rmcm ^{2} /s]	② [eqn: -2 pi rm cm ^{2} /s]	③ [eqn: -3 pi rm cm ^{2} /s]

④ [eqn: -4 pi rm cm ^{2} /s]	⑤ [eqn: -5 pi rm cm ^{2} /s]

[eqn: y=x ^{3} +5]와 점 [eqn: (0,```3)]에서 이 곡선에 그은 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4.6점]

②

① [eqn: {81} over {4}]	② [eqn: {27} over {4}]	③ [eqn: {9} over {4}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +1(x GEQ 0)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때,
[eqn: int _{1} ^{3} {f(x)dx+ int _{2} ^{10} {g(x)dx}}]의 값은? [4.6점]

①

① [eqn: 28]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 32]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +x ^{2} +x+1]일 때, [eqn: lim _{x-> 1} {{1} over {x ^{2} -1} int _{0} ^{2x-2} {f(t)dt}}]의 값은? [4.6점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

어느 학교 체육관의 천장의 높이는 [eqn: 26rmm]라고 한다. 바닥으로부터 [eqn: 1rmm] 높이에서 공을 들고 초속 [eqn: v _{0}]m로 수직으로 던져 올릴 때, [eqn: t]초 후의 공의 속도를 [eqn: v(t)](m/s)라고 하면 [eqn: v(t)=-10t+v _{0}]이다. 이때 공이 천장에 닿기 위한 [eqn: v _{0}]의 최솟값은? (단, 중력가속도는 [eqn: 10rmm/sec ^{2}]으로 생각한다.) [4.6점]

⑤

① [eqn: 6 sqrt {5}]	② [eqn: 7 sqrt {5}]	③ [eqn: 8 sqrt {5}]

④ [eqn: 9 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 10 sqrt {5}]

곡선 [eqn: y=x ^{3} +x+1] 밖의 점 [eqn: (1,```k)]에서 주어진 곡선에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위가 [eqn: alpha <k< beta]일 때, [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

두 곡선 [eqn: y=x ^{2} -2], [eqn: y=-x ^{2} + {2} over {n ^{2}}]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라고 한다. [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: 4]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여
[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+xy]
를 만족시킨다. [eqn: f`'(0)=1]일 때, [eqn: f(4)]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 24]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여, [eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{x} over {n ^{5}} sum _{k=1} ^{n} (n+kx) ^{4}}]이라 할 때,
[eqn: f`'(1)]의 값은? [4.7점]

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

서술형

수직선 위에서 좌표가 [eqn: 5]인 점을 출발하여 움직이는 어떤 물체의 시각 [eqn: t]일 때의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프는 다음과 같다. 색칠한 세 부분의 넓이가 차례로 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 20]일 때, 다음을 구하시오. [총 5.0점]

(1) [eqn: -14]

(2) [eqn: -19]

(3) [eqn: 27]

(1) [eqn: t=c]일 때의 이 물체의 위치를 구하시오. [1.0점]

(2) [eqn: t=0]에서 [eqn: t=c]까지 이 물체의 위치의 변화량을 구하시오.

[2.0점]

(3) [eqn: t=0]에서 [eqn: t=c]까지 이 물체의 이동 거리를 구하시오.

[2.0점]

반지름의 길이가 [eqn: 10rmcm]인 구에 내접하는 원기둥의 반지름의 길이를 [eqn: r], 높이를 [eqn: h]라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (단, 단위는 생략하여도 관계없음) [5.0점]

(1) [eqn: r^2 + h^2 over 4 =100]

(2) [eqn: { 20 sqrt { 3} } over { 3}]

(1) 원기둥의 반지름과 높이에 대한 관계를 구하시오. [2.0점]

(2) 원기둥의 부피를 [eqn: V]라고 할 때, [eqn: V]가 최대가 될 때의

높이 [eqn: h]를 구하는 과정을 서술하시오. [3.0점]

[2015년 대화고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com